我們(men) 把波像差大致分為(wei) 兩(liang) 類，一種是軸上點的波像差，另一種是軸外點的波像差，兩(liang) 者的影響因素以及與(yu) 其相關(guan) 的像差是不同的。此次我們(men) 分析的軸外點的波像差及其與(yu) 垂軸像差之間的關(guan) 係。
波像差係列（三）-軸外點的波像差及其與(yu) 垂軸像差的關(guan) 係
軸外點光束經光學係統後，一般已失去軸對稱性質。因此不能像軸上點那樣，僅(jin) 用一個(ge) 量來描述其像差。通常用光線的垂軸像差的子午分量
和弧矢分量
來描述，相應地,軸外點的波像差也將表示成與(yu) 這兩(liang) 個(ge) 分量之間的關(guan) 係。
分別以出瞳中心o’和理想像麵中心
為(wei) 原點,作瞳麵坐標
和像麵坐標
如上圖所示。
為(wei) 軸外點B的實際波麵，
為(wei) 以理想像點
為(wei) 中心所作的在出瞳中心o’處與(yu) 實際波麵相切或相交的理想參考球麵。任取一條光線，與(yu) 波麵
,
和高斯像麵分別相交於(yu) 
和B'點,其坐標分別為(wei) 
光線的方向餘(yu) 弦為(wei) cosα，cosβ，cosγ。顯然，
則
在三個(ge) 坐標軸上的投影可以寫(xie) 成：
微分這些式子，並將第①式乘cosa,第②式乘cosβ,第③式乘cosγ,然後相加，考慮到方向餘(yu) 弦的平方和等於(yu) 1,得
為(wei) 進一步簡化上式,對實際波麵方程微分
，並考慮到實際波麵上
點的法線即為(wei) 光線，有
再根據上圖，寫(xie) 出光線QB’的方向餘(yu) 弦，並令QB’=R。再寫(xie) 出理想參考球麵方程式
根據這些關(guan) 係，Z終可將dW表達式寫(xie) 成為(wei) ：
這就是軸外點波像差與(yu) 垂軸幾何像差之間的關(guan) 係式。利用它可由幾何像差求知波像差。反之亦然。為(wei) 從(cong) 光線的垂軸像差計算波像差,可對上麵的公式進行積分。但是這樣計算是相當不便的，因為(wei) 要精確地把垂軸像差的二個(ge) 分量表示成瞳麵坐標
的函數關(guan) 係非常複雜。因此，一般隻利用這種關(guan) 係分析和研究波像差與(yu) 幾何像差的關(guan) 係。
通常,波像差是直接計算光線光程求得的。不過波麵上沿子午截線的波像差還是容易在光學設計時從(cong) 所算得的幾何像差來判定。
上圖所示為(wei) 軸外點任一子午光線，與(yu) 出瞳麵的交點Q的坐標為(wei) 
,與(yu) 高斯像麵的交點 高度為(wei) y’。距離 QB可認為(wei) 等於(yu) 參考球麵的半徑R,則有
將其微分的結果代入我們(men) 之前的到的式子，由於(yu) 不涉及x'坐標,積分得
所以，隻要計算出對應於(yu) 各U’的光線與(yu) 高斯像麵的交點高度y’，畫出
曲線，並使它通過
點,就得到
曲線，如下圖 所示。這一曲線對 sinU’ 軸所圍的麵積，即為(wei) 波麵上沿子午截線的波像差。
上圖中曲線與(yu) sinU'軸所圍的麵積，是以高斯像麵上理想像點為(wei) 參考點時的波像差，顯然是比較大的。這也說明，當軸外點所成像有像差時,高斯像點也非較佳焦點所在。同樣，可用離焦方法來尋求較佳參考點位置，以使波像差有所減小。不過對軸外點,離焦可在垂軸和沿軸兩(liang) 個(ge) 方向進行。
先看垂軸離焦的情況。當參考點相對於(yu) 高斯像點在垂軸方向作一微小移動時，相當於(yu) 各條光線的
值改變了同樣一個(ge) 移動量，即縱坐標軸作了一個(ge) 平移。從(cong) 圖中顯而易見，縱軸移動Δy’至位置I時,波差將大為(wei) 減小，所以，隻要平移
曲線的縱軸，使其被曲線所包圍的麵積為(wei) 小即可。垂軸離焦的目的，隻是為(wei) 了獲知較佳參考點位置後，估計波像差大小以判斷該像點的像質是否良好。
相關(guan) 文獻：
《幾何光學 像差 光學設計》（第三版）——李曉彤 岑兆豐(feng)
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