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像差理論與計算係列（四）正弦條件

發布時間：2022-01-14 17:08:09 瀏覽量：6550 作者：Alex

摘要

如果一個(ge) 光學係統的視場較小，其邊緣點可認為(wei) 與(yu) 軸上點很靠近,這種近軸物點的像差性質要比遠軸點簡單得多。當光學係統對軸上點成完善像時，使在垂軸方向上與(yu) 之無限靠近的物點也成完善像的充分必要條件稱為(wei) 正弦條件 (sine condition)。這就是說，若光學係統滿足正弦條件，就能對小視場物麵完善成像。正弦條件可由費馬原理導出。

正文


像差理論與(yu) 計算係列（四）正弦條件

一、正弦條件的公式推導

如下圖,光軸上的點 A 成完善像於(yu) A’。點B是在過點A 的垂軸方向上無限靠近A 的一點，設它也被係統成完善像於(yu) B'。分別以y和y'表示AB 和A'B’。過A點的光線OA 與(yu) 光軸成U 角，其共軛光線 O'A’與(yu) 光軸成U’角。



過B點的光線0B 與(yu) 光軸成 U+dU 角，其共軛光線0'B'與(yu) 光軸成 U’+ dU’角。根據費馬原理，光程（OAA’0’)應與(yu) (OBB’0’）相等，即


故有

         （a）

以O點為(wei) 中心，OA為(wei) 半徑做圓弧，交光線OB於(yu) 點E。因dU極小，從(cong) ∆ABE可得

              （b）

同理，在像方可得

                       （c）

將（b）和（c）帶入公式（a），得


 

因A’和B’分別是A和B的完善像，根據費馬原理，其間的光程各為(wei) 極值，即

δ(AA’)=δ(BB’)=0,因此光程(AA’)和(BB')各為(wei) 常數,二者之差也為(wei) 常數，該常數可用一條沿光軸的光線來確定。對於(yu) 這條光線，U=U'=0,故該常數為(wei) 0,由此得


 

這就是正弦條件。這是光學係統對垂軸小麵積成完善像所需滿足的條件。或者說，當軸上點能以寬光束成完善像時，若滿足此條件，過該點的垂軸小麵積上的其他店也能以寬光束成完善像。

所以上述公式由可化為(wei)


 

當物體(ti) 位於(yu) 無窮遠時，sinU=0，正弦條件須表示成另一種形式。以-（l-f）/f代替β，並有lsinU=h，可導出


 

顯然,僅(jin) 由軸上點光線的光路計算結果就能方便地判斷光學係統是否滿足正弦條件。例如邊緣光線，若已對其校正了球差，並根據其光路計算結果求取比值 nsinU/n' sinU'或h/sinU'，它們(men) 與(yu) 按近軸光線所算得的放大率β=nu/nu'或焦距f’=h/u'之差為(wei)


 

 

即表示係統偏離正弦條件的程度。

二、等暈條件

光軸上校正了球差並滿足正弦條件的一對共軛點，稱為(wei) 齊明點或不暈點。單個(ge) 折射球麵存在三對無球差的共軛點，其中l=l’=0和l=l’=r這二對顯然滿足正弦條件,而由l’=(n+n’)r/n’和l=（n+n’)r/n這一對,可得


 

所以,以上三對共軛點都是滿足正弦條件的齊明點。

正弦條件以軸上點完善成像為(wei) 前提。但從(cong) 球差的討論可知,實際的光學係統僅(jin) 能對物點發出的光束中的一個(ge) 帶或二個(ge) 帶的光線校正球差,因此，即使是軸上點也不可能是真正的完善成像。此外,軸上點球差校正不佳或不能校正時，成像也不完善。此時,軸外近軸點當然也不可能完善成像，充其量隻能要求它的像質與(yu) 軸上點一致，即具有相同程度的成像缺陷，我們(men) 稱之為(wei) 等暈成像 (aplanatic image formation)。

既然軸上點成像時隻有球差，那麽(me) ，根據等暈成像的要求，在垂軸平麵上與(yu) 之無限靠近的軸外點也隻有球差，並且對應孔徑角球差相等，二者具有相同的光束結構，如下圖所示。

這時所要滿足的條件稱等暈條件(aplanatic condition)。即



若OSC=0,表示係統滿足等暈條件,OSC 稱為(wei) 正弦差。當軸上點由於(yu) 球差而不完善成像時，滿足此條件可使垂軸小麵積等暈成像。

從(cong) 以上公式可見,為(wei) 計算正弦差以判斷近軸點的像質，隻需利用軸上點的光線計算結果,外加一條第二近軸光線的計算即可達到目的。為(wei) 使正弦差的公式表示得更明確、簡潔和便於(yu) 計算，將l'=L-δL'代入，並且一般總取u=sinU，忽略高次小量(即取sin U'=u'和L’=l後，上述公式可化為(wei)


 

當物體(ti) 位於(yu) 無窮遠時，按公式lsinU=h，可將上式表示成


 

以上二式中,δβ和δf’分別由之前他們(men) 對應的表達式決(jue) 定。

以上計算正弦差的公式中，都包含有出瞳位置因子l’p，它隨孔徑光闌位置而變。因此，當係統的球差已定而不滿足等暈條件時,一定可以找到一個(ge) 光闌位置使係統的正弦差為(wei) 零。挑選光闌位置來校正某一種與(yu) 其有關(guan) 的像差是光學設計時常用手段。


相關(guan) 文獻：《幾何光學 像差 光學設計》（第三版）——李曉彤 岑兆豐(feng)


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